Question

已知關于x的方程9^x+m·3^x+6=0（其中m∈R）。
（1）若m=-5，求方程的解；
（2）若方程沒有實數根，求實數m的取值范圍。

Answer 1

解：（1）當m=-5時，方程即為9^x-5·3^x+6=0，
令3^x=t（t>0），方程可轉化為t²-5t+6=0，
解得t=2或t=3，
由3^x=2得x=log₃2，
由3^x=3得x=1，
故原方程的解為1，log₃2。
（2）令3^x=t（t>0）
方程可轉化為t²+mt+6=0①
要使原方程沒有實數根，應使方程①沒有實數根，或者沒有正實數根
當方程①沒有實數根時，需Δ=m²-24＜0，
解得-2＜m＜2；
當方程①沒有正實數根時，方程有兩個相等或不相等的負實數根，
這時應有，解得m≥2
綜上，實數m的取值范圍為m>-2。