Question

一射擊運動員進行飛碟射擊訓練，每一次射擊命中飛碟的概率p與運動員離飛碟的距離s（米）成反比，每一個飛碟飛出后離運動員的距離s（米）與飛行時間t（秒）滿足s=15（t+1）（0≤t≤4），每個飛碟允許該運動員射擊兩次（若第一次射擊命中，則不再進行第二次射擊）．該運動員在每一個飛碟飛出0.5秒時進行第一次射擊，命中的概率為，當第一次射擊沒有命中飛碟，則在第一次射擊后0.5秒進行第二次射擊，子彈的飛行時間忽略不計．
（1）在第一個飛碟的射擊訓練時，若該運動員第一次射擊沒有命中，求他第二次射擊命中飛碟的概率；
（2）求第一個飛碟被該運動員命中的概率；
（3）若該運動員進行三個飛碟的射擊訓練（每個飛碟是否被命中互不影響），求他至少命中兩個飛碟的概率．

Answer 1

解：（1）每一次射擊命中飛碟的概率p與運動員離飛碟的距離s（米）成反比，
依題意設為常數），由于s=15（t+1）（0≤t≤4），
∴．
當t=0.5時，，則，解得k=18．
∴．
當t=1時，．
∴該運動員第二次射擊命中飛碟的概率為．

（2）設“該運動員第一次射擊命中飛碟”為事件A
第二次命中飛碟為事件B，則“第一個飛碟被該運動員命中”為事件：．
∵，
∴=．
∴第一個飛碟被該運動員命中的概率為．
（3）設該運動員進行三個飛碟的射擊訓練時命中飛碟的個數為ξ，
由題意知ξ符合獨立重復試驗，
∴至少命中兩個飛碟的概率為P=P（ξ=2）+P（ξ=3）
=C₃²p²（1-p）+C₃³p³==．
分析：（1）每一次射擊命中飛碟的概率p與運動員離飛碟的距離s（米）成反比，列出關系式，代入s=15（t+1），根據每一個飛碟飛出0.5秒時進行第一次射擊，命中的概率為，求出系數，得到結果．
（2）第一個飛碟被該運動員命中包括該運動員第一次射擊命中飛碟，或是第一次沒有命中飛碟且第二次命中飛碟，這兩種情況是互斥的，根據相互獨立事件的概率和互斥事件的概率公式，得到結果．
（3）該運動員進行三個飛碟的射擊訓練時命中飛碟的個數為ξ，ξ符合獨立重復試驗，運動員至少命中兩個飛碟包括命中兩個飛碟和命中三個飛碟，這兩種情況是互斥的，寫出概率．
點評：本題考查獨立重復試驗，考查相互獨立事件同時發生的概率，考查互斥事件的概率，考查利用概率知識解決實際問題的能力，是一個概率的綜合題目．