Question

【題目】給定個不同的數、、、、，它的某一個排列的前項和為，該排列中滿足的的最大值為．記這個不同數的所有排列對應的之和為．

（1）若，求；

（2）若，.

①證明：對任意的排列，都不存在使得；

②求（用表示）．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①見解析；②.

【解析】

（1）列出、、的所有排列，求出個排列中的值，進而可求得的值；

（2）①設個不同數的某一個排列為、、、，求得為奇數，再由為偶數可得出結論；

②由題意可得出，可得出且，考慮排列的對應倒序排列，推導出，由此可得出，再由、、、、這個不同數可形成個對應組合，進而可求得的值.

（1）、、的所有排列為、、；、、；、、；、、；、、；、、.

因為，所以對應的分別為、、、、、，所以；

（2）（i）設個不同數的某一個排列為、、、，

因為，，所以為奇數，

而為偶數，所以不存在使得

（ii）因為，即，

又由（i）知不存在使得，

所以；

所以滿足的最大下標即滿足①，

且②，

考慮排列的對應倒序排列、、、，

①②即，，

由題意知，則；

又、、、、這個不同數共有個不同的排列，可以構成個對應組合，

且每組中，所以．