Question

已知數列{a_n}是以d為公差的等差數列，{b_n}數列是以q為公比的等比數列．
（Ⅰ）若數列的前n項和為S_n，且a₁=b₁=d=2，S₃＜a₁₀₀₃+5b₂-2010，求整數q的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，試問數列中是否存在一項b_k，使得b_k恰好可以表示為該數列中連續p（p∈N，p≥2）項的和？請說明理由；
（Ⅲ）若b₁=a_r，b₂=a_s≠a_r，b₃=a_t（其中t＞s＞r，且（s-r）是（t-r）的約數），求證：數列{b_n}中每一項都是數列{a_n}中的項．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由等差等比數列的表達式a_n=2n，b_n=2•q^n-1，代入S₃＜a₁₀₀₃+5b₂-2010直接求解即得到答案．
（Ⅱ）可以先假設數列{b_n}中存在一項b_k，滿足b_k=b_m+b_m+1+b_m+2++b_m+p-1，再根據已知的條件去驗證，看是否能找出矛盾．如果沒有矛盾即存在，否則這樣的項b_k不存在；
（Ⅲ）由已知條件b₁=a_r，得b₂=b₁q=a_rq=a_s=a_r+（s-r）d，和等差等比數列的性質，由數學歸納法求證數列中每一項是否都是數列中的項．

解答：解：（Ⅰ）由題意知，a_n=2n，b_n=2•q^n-1，所以由S₃＜a₁₀₀₃+5b₂-2010，
可得到b₁+b₂+b₃＜a₁₀₀₃+5b₂-2010?b₁-4b₂+b₃＜2006-2010?q²-4q+3＜0．
解得1＜q＜3，又q為整數，所以q=2；
故答案為2．
（Ⅱ）假設數列{b_n}中存在一項b_k，滿足b_k=b_m+b_m+1+b_m+2++b_m+p-1，
因為b_n=2ⁿ，∴b_k＞b_m+p-1?2^k＞2^m+p-1?k＞m+p-1?k≥m+p（*）
又bk=2k=bm+bm+1+bm+2++bm+p-1=2m+2m+1++2m+p-1=

2m(2p-1)

2-1

=2^m+p-2^m＜2^m+p，所以k＜m+p，此與（*）式矛盾．
所以，這樣的項b_k不存在；
故答案為不存在．
（Ⅲ）由b₁=a_r，得b₂=b₁q=a_rq=a_s=a_r+（s-r）d，
則d=

ar(q-1)

s-r

又b3=b1q2=arq2=at=ar+(t-r)d?arq2-ar=(t-r)•

ar(q-1)

s-r

，
從而ar(q+1)(q-1)=ar(q-1)•

t-r

s-r

，
因為a_s≠a_r?b₁≠b₂，所以q≠1，又a_r≠0，
故q=

t-r

s-r

-1．又t＞s＞r，且（s-r）是（t-r）的約數，
所以q是整數，且q≥2，
對于數列中任一項b_i（這里只要討論i＞3的情形），
有b_i=a_rq^i-1=a_r+a_r（q^i-1-1）
=a_r+a_r（q-1）（1+q+q²++q^i-2）
=a_r+d（s-r）（1+q+q²++q^i-2）
=a_r+[（（s-r）（1+q+q²++q^i-2）+1）-1]•d，
由于（s-r）（1+q+q²++q^i-2）+1是正整數，所以b_i一定是數列{a_n}的項．
故得證．

點評：此題主要考查等差等比數列的性質的應用，以及數學歸納法在數列中的應用，題目較為復雜，需要一步一步的分析求解，計算量要求較高，屬于難題．