Question

已知數列{a_n}中，a1=

1

3

，an+1=

an+1

3-an

．（1）求a₂，a₃，a₄的值；（2）猜想a_n的表達式，并用數學歸納法加以證明．

Answer 1

分析：（1）通過n=1，2，3，利用a1=

1

3

，an+1=

an+1

3-an

求出a₂，a₃，a₄的值即可．
（2）根據（1）數列前4項的數值特征，猜想a_n的表達式，利用數學歸納法加驗證n=1時猜想成立，然后假設n=k時猜想成立，證明n=k+1時猜想也成立．

解答：解：（1）通過n=1，a1=

1

3

，a2=

a1+1

3-a1

=

1

2

，n=2，當a2=

1

2

，a3=

a2+1

3-a2

=

3

5

，當n=3，利用a4=

a3+1

3-a3

=

2

3

．
所以a₂，a₃，a₄的值分別為：

1

2

，

3

5

，

2

3

．
（2）由（1）可知數列的前4項為：

1

3

，

2

4

，

3

5

，

4

6

；分子為正自然數列，分母為正自然數加2，所以猜想a_n的表達式為：an=

n

n+2

．
證明：①當n=1時，顯然成立，
②假設n=k時，猜想成立，即：ak=

k

k+2

，
那么，n=k+1時，ak+1=

ak+1

3-ak

=

k k+2 +1

3- k k+2

=

k+1

k+3

=

k+1

(k+1)+2

．
就是說，n=k+1時猜想成立．由①②可知對于n∈N₊時猜想成立．

點評：本題是中檔題，考查已知數列的遞推關系式，求出數列的前幾項，猜想通項公式，利用數學歸納法證明猜想成立，注意數學歸納法證明時，必須用上假設．