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在單調遞增數列{an}中，a1=1，a2=2，且a2n-1，a2n，a2n+1成等差數列，a2n，a2n+1，a2n+2成等比數列，n=l，2，3，…．
(Ⅰ)分別計算a3，a5和a4，a6的值；
(Ⅱ)求數列{an}的通項公式（將an用n表示）；
(Ⅲ)設數列的前n項和為Sn，證明：，n∈N*。
解：(Ⅰ)由已知得。
(Ⅱ)，，…
，…
∴猜想：，
以下用數學歸納法證明之。
①當n=1時，，猜想成立；
②當n=k（k≥1，k∈N*）時，猜想成立，即，
那么
，

，
∴n=k+1時，猜想成立，
由①②，根據數學歸納法原理，對任意n∈N*，猜想成立；
∴當n為奇數時，；
當n為偶數時，；
即數列{an}的通項公式為。
 (Ⅲ)由(Ⅱ)得，
顯然；
當n為偶數時，



；
當n為奇數時，



綜上所述，。
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

在單調遞增數列{an}中，a1=1，a2=2，且a2n-1，a2n，a2n+1成等差數列，a2n，a2n+1，a2n+2成等比數列，n=1，2，3，…．
（1）分別計算a3，a5和a4，a6的值；
（2）求數列{an}的通項公式（將an用n表示）；
（3）設數列{
1
an
}的前n項和為Sn，證明：Sn＜
4n
n+2
，n∈N*．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2011•東城區二模）在單調遞增數列{an}中，a1=2，不等式（n+1）an≥na2n對任意n∈N*都成立．
（Ⅰ）求a2的取值范圍；
（Ⅱ）判斷數列{an}能否為等比數列？說明理由；
（Ⅲ）設bn=(1+1)(1+
1
2
)…(1+
1
2n
)，cn=6(1-
1
2n
)，求證：對任意的n∈N*，
bn-cn
an-12
≥0．

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科目：高中數學 來源：北京模擬題 題型：解答題

在單調遞增數列{an}中，a1=2，不等式(n+1)an≥na2n對任意n∈N*都成立，
（Ⅰ）求a2的取值范圍；
（Ⅱ）判斷數列{an}能否為等比數列？說明理由；
（Ⅲ）設，求證：對任意的n∈N*，。

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科目：高中數學 來源：2012-2013學年北京市海淀區北師特學校高三（上）第四次月考數學試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

在單調遞增數列{an}中，a1=2，不等式（n+1）an≥na2n對任意n∈N*都成立．
（Ⅰ）求a2的取值范圍；
（Ⅱ）判斷數列{an}能否為等比數列？說明理由；
（Ⅲ）設，，求證：對任意的n∈N*，．

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科目：高中數學 來源：2011年北京市東城區高考數學二模試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

在單調遞增數列{an}中，a1=2，不等式（n+1）an≥na2n對任意n∈N*都成立．
（Ⅰ）求a2的取值范圍；
（Ⅱ）判斷數列{an}能否為等比數列？說明理由；
（Ⅲ）設，，求證：對任意的n∈N*，．

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