Question

【題目】給出下列四個命題：

①在中，若，則；

②已知點，則函數的圖象上存在一點，使得；

③函數是周期函數，且周期與有關，與無關；

④設方程的解是，方程的解是，則.

其中真命題的序號是______.（把你認為是真命題的序號都填上）

Answer 1

【答案】①③

【解析】

①利用三角形的內角和定理以及正弦函數的單調性進行判斷；

②根據余弦函數的有界性可進行判斷；

③利用周期函數的定義，結合余弦函數的周期性進行判斷；

④根據互為反函數圖象的對稱性進行判斷.

①在中，若，則，則，由于正弦函數在區間上為增函數，所以，故命題①正確；

②已知點，則函數，所以該函數圖象上不存在一點，使得，故命題②錯誤；

③函數的是周期函數，

當時，，該函數的周期為.

當時，，該函數的周期為.

所以，函數的周期與有關，與無關，命題③正確；

④設方程的解是，方程的解是，

由，可得，由，可得，

則可視為函數與直線交點的橫坐標，

可視為函數與直線交點的橫坐標，如下圖所示：

聯立，得，可得點，

由于函數的圖象與函數的圖象關于直線對稱，

則直線與函數和函數圖象的兩個交點關于點對稱，

所以，命題④錯誤.

故答案為：①③.