Question

已知函數f（x）=x²（x-a），a∈R．
（1）若x=6為函數f（x）的一個極值點，求a的值；
（2）若a=1，求曲線y=f（x）在點（2，4）處的切線方程；
（3）設a≥3時，求函數f（x）在區間[1，2]上的最小值．

Answer 1

分析：（1）求出函數的導數，通過x=6為函數f（x）的一個極值點，求a的值；
（2）若a=1，求出導函數值，直接求出曲線y=f（x）在點（2，4）處的切線方程；
（3）設a≥3時，通過函數的導數判斷函數的單調性，求出函數f（x）在區間[1，2]上的最小值．

解答：解：（1）因為函數f（x）=x²（x-a），所以f′（x）=3x²-2ax，
因為x=6，為函數f（x）的一個極值點，所以f′（6=0），
即3×6²-2a×6=0，解得a=9．
（2）當a=1時，f′（x）=3x²-2x，f′（2）=3×2²-2×2=8，
所求的切線方程為：y-4=8（x-2），即8x-y-12=0．
（3）當a≥3時，由f′（x）=3x²-2ax=0，解得x₁=0，x₂=

2a

3

，由f′（x）＜0，得0＜x＜

2a

3

，
因為a≥3，所以x₂=

2a

3

≥2，
所以函數f（x）在區間[1，2]上是減函數，
所以函數f（x）在區間[1，2]上的最小值為f（2）=8-4a．

點評：本題是中檔題，考查函數與導函數的關系，函數的切線方程的求法，最值的求法，考查計算能力．