Question

已知數列{a_n}滿足：，．

⑴求數列{a_n}的通項公式；      ⑵證明：

⑶設，且，證明：．

Answer 1

（1）（2）（3）見解析

解析:

：⑴由，得令，有

∴ ＝＝

又b₁＝2a₁＝2，    

∴∴           

⑵證法1：(數學歸納法)

1°，當n＝1時，a₁＝1，滿足不等式     

2°，假設n＝k(k≥1，k∈N*)時結論成立

即，那么

即      又

由1°，2°可知，n∈N*，都有成立   

⑵證法2：由⑴知：　　　　　　　　　　　　　　　　(可參照給分)

∵，，∴

∵  ∵

∴  ∴當n＝1時，，綜上

⑵證法3：  

∴{a_n}為遞減數列   當n＝1時，a_n取最大值　　∴a_n≤1

由⑴中知　　  

綜上可知

⑶欲證：即證   

即ln(1＋T_n)－T_n＜0，構造函數f (x)＝ln(1＋x)－x

∵當x＞0時，f ' (x)＜0

∴函數y＝f (x)在(0，＋∞)內遞減∴f (x)在[0，＋∞)內的最大值為f (0)＝0

∴當x≥0時，ln(1＋x)－x≤0又∵T_n＞0，∴ln(1＋T_n)－T_n＜0∴不等式成立