【題目】已知動圓過定點
，且在
軸上截得弦
的長為4。
（1）求動圓圓心的軌跡
的方程；
（2）設
，過點
斜率為
的直線
交軌跡
于
兩點， 
的延長線交軌跡
于
兩點。
①若
的面積為3，求
的值。
②記直線
的斜率為
，證明： 
為定值，并求出這個定值。
【答案】(1) 
;(2) ①2. ②2.
【解析】試題分析：（1）設圓心
，過點
作
軸，垂足為
，則
，根據
，根據兩點之間的距離公式化簡即可，需驗證
，即可得出圓心的軌跡
的方程；（2）設直線
的方程為
， 
，聯立直線與曲線
的方程，結合韋達定理得出
， 
；①表示出
，化簡即可解出
；②設
，表示出
， 
，根據
共線，即可求出
與
的關系，同理可得
的坐標，從而表示出
，即可得到
為定值.
試題解析：（1）設圓心
，過點
作
軸，垂足為
，則
.
∴
∴
，化簡為：
.
當
時，也滿足上式.
∴動圓圓心的軌跡
的方程為
。
（2）設直線
的方程為
， 
，
由
，得
，
， 
.
①
，解得
.
②設
，則
， 
.
∵
共線
∴
，即
，解得： 
（舍）或
.
∴
，同理
，
∴
∴
（定值）
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】給出下列四個命題：
①函數y=2sin
的圖象的一條對稱軸是x=
；
②函數y=tanx的圖象關于點
對稱；
③若sin
=sin
，則x1-x2=kπ，其中k∈Z；
④函數
，x∈[0，2π]的圖象與直線y=k有且僅有兩個不同的交點，則k的取值范圍為(1，3).
其中正確的有____(填寫所有正確命題的序號).
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在直角坐標系
中，曲線
的參數方程為
（
為參數），將曲線上各點的橫坐標都縮短為原來的
倍，縱坐標坐標都伸長為原來的
倍，得到曲線
，在極坐標系（與直角坐標系取相同的單位長度，且以原點
為極點，以
軸非負半軸為極軸）中，直線
的極坐標方程為
．
（1）求直線和曲線的直角坐標方程；
（2）設點
是曲線上的一個動點，求它到直線的距離的最大值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某校學生社團組織活動豐富，學生會為了解同學對社團活動的滿意程度，隨機選取了100位同學進行問卷調查，并將問卷中的這100人根據其滿意度評分值（百分制）按照[40，50），[50，60），[60，70），…，[90，100]分成6組，制成如圖所示頻率分布直方圖．
（1）求圖中x的值；
（2）求這組數據的中位數；
（3）現從被調查的問卷滿意度評分值在[60，80）的學生中按分層抽樣的方法抽取5人進行座談了解，再從這5人中隨機抽取2人作主題發言，求抽取的2人恰在同一組的概率．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某市場研究人員為了了解產業園引進的甲公司前期的經營狀況，對該公司2019年連續六個月（5-10）月）的利潤進行了統計，并根據得到的數據繪制了相應的折線圖，如圖所示.
（1）由折線圖可以看出，可用線性回歸模型擬合月利潤
（單位：百萬元）與月份代碼
之間的關系，求關于的線性回歸方程，并據此預測該公司2020年5月份的利潤；
（2）甲公司新研制了一款產品，需要采購一批新型材料，現有
兩種型號的新型材料可供選擇，按規定每種新型材料最多可使用4個月，但新材料的不穩定性會導致材料損壞的年限不同，現對兩種型號的新型材料對應的產品各100件進行科學模擬測試，得到兩種新型材料使用壽命的頻數統計表（表）.若從產品使用壽命的角度考慮，甲公司的負責人選擇采購哪款新型材料更好？
使用壽命 | 1個月 | 2個月 | 3個月 | 4個月 | 總計 |
材料類型 | |||||
| 20 | 35 | 35 | 10 | 100 |
| 10 | 30 | 40 | 20 | 100 |
參考數據：
，
.
參考公式：回歸直線方程
，其中
，
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數y=f(x)是定義在R上的奇函數,且當x≥0時,f(x)=-x2+ax.
(1)若a=-2,求函數f(x)的解析式;
(2)若函數f(x)為R上的單調減函數,
①求a的取值范圍;
②若對任意實數m,f(m-1)+f(m2+t)<0恒成立,求實數t的取值范圍.
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