不等式選講
設x,y,z為正數,證明:2(x3+y3+z3)≥x2(y+z)+y2(x+z)+z2(x+y).
【答案】分析:先將2(x3+y3+z3)分解成(x3+y3)+(z3+x3)+(y3+z3),再對每一組利用基本不等式進行放縮即得.
解答:證明:因為x2+y2≥2xy≥0(2分)
所以x3+y3=(x+y)(x2-xy+y2)≥xy(x+y)(4分)
同理y3+z3≥yz(y+z),z3+x3≥zx(z+x)(8分)
三式相加即可得2(x3+y3+z3)≥xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x)
又因為xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x)=x2(y+z)+y2(x+z)+z2(x+y)
所以2(x3+y3+z3)≥x2(y+z)+y2(x+z)+z2(x+y)
點評:本題主要考查不等式的證明,從已知條件出發,利用定義、公理、定理、某些已經證明過的不等式及不等式的性質經過一系列的推理、論證等而推導出所要證明的不等式,這個證明方法叫綜合法.