【題目】已知五面體
中，四邊形
為矩形，
，
，且二面角
的大小為
.
（1）證明：
平面
；
（2）求二面角
的余弦值.
【答案】（1）見解析；（2）
.
【解析】
（1）先證
平面
，由線面平行的性質定理得
，所以
由線面垂直的判定定理得
平面
，從而得A
平面；
（2）以
為坐標原點，以
所在的直線為
軸，過平行于
的直線為
軸，
所在的直線為
軸，建立空間直角坐標系，
（1）在五面體
中，四邊形
為矩形，所以
，
.
因為
平面，
平面，所以
平面，
因為
平面
，平面
平面
，所以，又，故
.因為
，
，
，所以
，
因為
，所以平面，又，所以
平面.
（2）過點
作
，垂足為，以為坐標原點，以所在的直線為軸，過平行于的直線為軸，所在的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，分別求平面
，平面
的法向量，利用向量法求解即可.
則
，
，
，
，
，
，
，
設平面的一個法向量為
，則
即
，
不妨令
，則
.
設平面的一個法向量為
，則
即
不妨令
，則
，則
.
由圖知二面角
為銳角，所以二面角的余弦值為.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在
中，已知
、
．
（1）若點
的坐標為
，直線
，直線
交
邊于
，交
邊于
，且
與的面積之比為
，求直線的方程；
（2）若
是一個動點，且的面積為
，試求
關于
的函數關系式．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖是一旅游景區供游客行走的路線圖，假設從進口
開始到出口
，每遇到一個岔路口，每位游客選擇其中一條道路行進是等可能的.現有甲、乙、丙、丁共
名游客結伴到旅游景區游玩，他們從進口的岔路口就開始選擇道路自行游玩，并按箭頭所指路線行走，最后到出口集中，設點
是其中的一個交叉路口點.
（1）求甲經過點的概率；
（2）設這名游客中恰有
名游客都是經過點，求隨機變量的概率分布和數學期望.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】一次足球邀請賽共安排了
支球隊參加，每支球隊預定的比賽場數分別是
，
，…，
．若任兩支球隊之間至多安排了一場比賽，則稱
是一個“有效安排”．證明：若是一個有效安排，且
，則可去掉一支球隊，并重新調整各隊之間的對局情況，使
也是一個有效安排．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】古希臘雅典學派算學家歐道克薩斯提出了“黃金分割”的理論，利用尺規作圖可畫出己知線段的黃金分割點，具體方法如下：（l）取線段AB＝2，過點B作AB的垂線，并用圓規在垂線上截取BC＝
AB，連接AC；（2）以C為圓心，BC為半徑畫弧，交AC于點D；（3）以A為圓心，以AD為半徑畫弧，交AB于點E．則點E即為線段AB的黃金分割點．若在線段AB上隨機取一點F，則使得BE≤AF≤AE的概率約為（ ）（參考數據：
2.236）
A. 0.236B. 0.382C. 0.472D. 0.618
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】出租車幾何學是由十九世紀的赫爾曼·閔可夫斯基所創立的．在出租車幾何學中，點還是形如
的有序實數對，直線還是滿足
的所有組成的圖形，角度大小的定義也和原來一樣．直角坐標系內任意兩點
，
，定義它們之間的一種“距離”：
；到兩點P．Q“距離”相等的點的軌跡稱為線段PQ的“垂直平分線”．已知點
、
、
，請解決以下問題：
（1）求線段
上一點
到原點
的“距離”；
（2）寫出線段AB的“垂直平分線”的軌跡方程，并作出大致圖像；
（3）定義：若三角形三邊的“垂直平分線”交于一點，則該點稱為三角形的“外心”．試判斷
的“外心”是否存在，如果存在，求出“外心”；如果不存在，說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】橢圓
的離心率是
，過點
的動直線
與橢圓相交于
兩點，當直線
與
軸平行時，直線
被橢圓
截得的線段長為
.
（Ⅰ）求橢圓
的方程；
（Ⅱ）在
軸上是否存在異于點
的定點
，使得直線
變化時，總有
？若存在，求出點
的坐標；若不存在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知動圓P恒過定點
，且與直線
相切．
（Ⅰ）求動圓P圓心的軌跡M的方程；
（Ⅱ）正方形ABCD中，一條邊AB在直線y＝x＋4上，另外兩點C、D在軌跡M上，求正方形的面積．
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