Question

已知函數y=x+（x＞0）有如下性質：如果常數a＞0，那么該函數在（0，]上是減函數，在[，+∞）上是增函數．
（1）如果函數y=x+（x＞0）的值域為[6，+∞），求b的值；
（2）研究函數y=x²+（x＞0，常數c＞0）在定義域內的單調性，并用定義證明（若有多個單調區間，請選擇一個證明）；
（3）對函數y=x+和y=x²+（x＞0，常數a＞0）作出推廣，使它們都是你所推廣的函數的特例．研究推廣后的函數的單調性（只須寫出結論，不必證明），并求函數F（x）=+在區間[，2]上的最大值和最小值（可利用你的研究結論）．

Answer 1

解：（1）函數y=x+（x＞0）在（0，]上是減函數，在[，+∞）上是增函數．當時，，
所以b=±3．（漏-3，扣1分）…（4分）
（2）函數y=x²+（x＞0，常數c＞0）在（0，]上是減函數，在[，+∞）上是增函數．…（2分）
證明：函數y=x²+（x＞0，常數c＞0）在（0，]上是減函數
在（0，]內任取兩個變量x₁，x₂，且x₁＜x₂，
則
∵x₁，x₂∈（0，]且x₁＜x₂，
∴y₁＞y₂
∴函數y=x²+（x＞0，常數c＞0）在（0，]上是減函數…（4分）
（3）作出推廣：y=xⁿ+（x＞0，n∈N*，常數a＞0）…（1分）
在（0，]上是減函數，在[，+∞）上是增函數．…（2分）
或作出推廣：y=+（x＞0，n∈N，常數a＞0）…（1分）
在（0，]上是減函數，在[，+∞）上是增函數．…（2分）
F（x）=+
=
上是減函數，在[1，2]上是增函數．…（2分）
當x=1時，F（x）_min=8；
當x=或2時，．…（3分）
分析：（1）根據題意可知：函數y=x+（x＞0）在（0，]上是減函數，在[，+∞）上是增函數．從而當時，函數取到最小值6，故可解；
（2）根據題意可知：函數y=x²+（x＞0，常數c＞0）在（0，]上是減函數，在[，+∞）上是增函數，再用定義進行證明；
（3）根據題意，結合基本不等式可作推廣．利用推廣結論，可知函數在上是減函數，在[1，2]上是增函數，從而可解．
點評：本題的考點是函數與方程的綜合運用，主要考查與基本不等式結合，研究函數的單調性，并做推廣，從而研究函數的最值．