Question

已知函數 , .

（Ⅰ）當時，求曲線在點處的切線方程；

（Ⅱ）當時，求函數的單調區間；

（Ⅲ）當時，函數在上的最大值為，若存在，使得成立，求實數b的取值范圍.

 

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）當時，遞增區間為，，遞減區間為

當時，函數的遞增區間為，遞減區間為

【解析】（Ⅰ）當時，……………………1分

…………………………………….…2分

所以曲線在點處的切線方程…………………………….…3分

（Ⅱ）………4分

當時，

解，得，解，得

所以函數的遞增區間為，遞減區間為在 ………………………5分

x
f’(x)	+		-		+
f(x)	增		減		增

時，令得或

 

 

 

 

 

 

當時，

函數的遞增區間為，，遞減區間為……………………7分

當時， 在上，在上 8分

函數的遞增區間為，遞減區間為………………………9分

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當時，在上是增函數，在上是減函數，

所以， ……………………………11分

存在，使即存在，使，

方法一：只需函數在[1，2]上的最大值大于等于

所以有即解得：…13分

方法二：將

整理得從而有

所以的取值范圍是.………13分