Question

（22）如圖，F為雙曲線C：的右焦點。P為雙曲線C右支上一點，且位于軸上方，M為左準線上一點，為坐標原點。已知四邊形為平行四邊形，。

（Ⅰ）寫出雙曲線C的離心率與的關系式；

（Ⅱ）當時，經過焦點F且平行于OP的直線交雙曲線于A、B點，若，求此時的雙曲線方程。

Answer 1

(22)本小題主要考查直線方程、雙曲線的幾何性質等基本知識，考查綜合運用數學知識解決問題的能力及推理能力.

(Ⅰ)解法1:設為與雙曲線右準線的交點,則

.

即

解法2：設為PM與雙曲線右準線的交點，N為左準線與x軸的交點，F（c,0）,P()，由于P()在雙曲線右支上，則

                             ①

                                 ②

由|PF|=得

                                      ③

由①、②代入③得

      

再將c=ea,b=a代入上式，得

      

化簡，得

                                            ④

由題意，點P位于雙曲線右支上，從而

|PM|＞|M|.

于是解得e=2，

從而c=2a,b=

由此得雙曲線的方程是

      

．

下面確定a的值。

解法1：

設雙曲線左準線與x軸的交點為N，P點的坐標為()，則

        |ON|=

        |MN|=

由于P()在雙曲線的右支上，且位于x軸上方，因而

所以直線OP的斜率為。

設過焦點F且平行于OP的直線與雙曲線的交點為A（)、B()，則直線AB的斜率為，直線AB的方程為

          

將其代入雙曲線方程整理得

          

∵        

∴  |AB|=

       

由|AB|=12得a=1.于是，所求雙曲線的方程為

      

解法2：由條件OFPM為菱形，其對角線OP與FM互相垂直平分，其交點Q為OP的中點。

設OP的方程為則FM的方程為

       

由解得Q點的坐標為（），

所以P點的坐標為（）.

將P點的坐標代入雙曲線方程，化簡得

       

解得

設過焦點F且平行于OP的直線與雙曲線的交點為、，則直線AB的斜率為，直線AB的方程為

將其代入雙曲線方程，整理得

        

∵     

∴

 

由|AB|=12得a=1.于是，所求雙曲線的方程為