Question

【題目】如圖，在三棱錐P﹣ABC中，PA⊥AC，PA⊥AB，PA＝AB，，，點D，E分別在棱PB，PC上，且DE∥BC，

（1）求證：BC⊥平面PAC；

（2）當D為PB的中點時，求AD與平面PAC所成的角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）．

【解析】

解法一：

（1）根據線面垂直的判定定理由已知的垂直的關系，可得到線面垂直，這樣可以得到線線垂直，最后根據直角和線面垂直的判定定理證明出BC⊥平面PAC；

（2）結合（1）的結論、已知的平行線，根據線面角的定義，通過計算求出AD與平面PAC所成的角的正弦值．

解法二：建立空間直角坐標系.

（1）利用空間向量的數量積運用，證明線線垂直，再結合已知的垂直關系證明出線面垂直；

（2）利用空間向量夾角公式，求出AD與平面PAC所成的角的正弦值.

（解法一）：（1）∵PA⊥AC，PA⊥AB，AC∩AB＝A，

∴PA⊥底面ABC，

∴PA⊥BC．又∠BCA＝90°，

∴AC⊥BC．

∴BC⊥平面PAC．

（2）∵D為PB的中點，DE∥BC，

∴DEBC，

又由（1）知，BC⊥平面PAC，

∴DE⊥平面PAC，垂足為點E．

∴∠DAE是AD與平面PAC所成的角，

∵PA⊥底面ABC，

∴PA⊥AB，又PA＝AB，

∴△ABP為等腰直角三角形，

∴ADAB，

∴在Rt△ABC中，∠ABC＝60°，

∴BCAB．

∴在Rt△ADE中，sin∠DAE，

∴AD與平面PAC所成的角的正弦值是．

（解法二）：如圖，以A為原點建立空間直角坐標系A﹣xyz，設PA＝a，

由已知可得P（0，0，a），A（0，0，0），，．

（1）∵，，

∴，

∴BC⊥AP．

又∵∠BCA＝90°，

∴BC⊥AC，

∴BC⊥平面PAC．

（2）∵D為PB的中點，DE∥BC，

∴E為PC的中點，

∴，，

∴又由（1）知，BC⊥平面PAC，

∴DE⊥平面PAC，垂足為點E．

∴∠DAE是AD與平面PAC所成的角，

∵（），（0，a，a），

∴cos∠DAE，sin∠DAE．

∴AD與平面PAC所成的角的正弦值為．