Question

【題目】一張坐標紙上涂著圓E： 及點P（1，0），折疊此紙片，使P與圓周上某點P'重合，每次折疊都會留下折痕，設折痕與直線EP'交于點M．

（1）求的軌跡的方程；

（2）直線與C的兩個不同交點為A，B，且l與以EP為直徑的圓相切，若，求△ABO的面積的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】試題分析： 折痕為的垂直平分線，則，推導出的軌跡是以， 為焦點的橢圓，且,由此能求出的軌跡的方程；

與為直徑的圓相切，從而，由，得

，由此利用根的判別式，韋達定理，向量的數量積，弦長公式，三角形面積公式，能求出的面積的取值范圍。

解析：（1）折痕為PP′的垂直平分線，則|MP|=|MP′|，由題意知圓E的半徑為2，

∴|ME|+|MP|=|ME|+|MP′|=2＞|EP|，

∴E的軌跡是以E、P為焦點的橢圓，且a=，c=1，

∴b2=a2﹣c2=1， ∴M的軌跡C的方程為．

（2）l與以EP為直徑的圓x2+y2=1相切，

則O到l即直線AB的距離：=1，即m2=k2+1，

由，消去y，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，

∵直線l與橢圓交于兩個不同點，

∴△=16k2m2﹣8（1+2k2）（m2﹣1）=8k2＞0，k2＞0，

設A（x1，y1），B（x2，y2），則，，

y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=，

又=x1x2+y1y2=，∴，∴，

==，

設μ=k4+k2，則，∴=，，

∵S△AOB關于μ在[，2]單調遞增，

∴，∴△AOB的面積的取值范圍是[，]．