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（2013•湖北）設x，y，z∈R，且滿足：x2+y2+z2=1，x+2y+3z=
14
，則x+y+z=
3
14
7
3
14
7
．
分析：根據柯西不等式，算出（x+2y+3z）2≤14（x2+y2+z2）=14，從而得到x+2y+3z恰好取到最大值
14
，由不等式的等號成立的條件解出x=
14
14
、y=
14
7
且z=
3
14
14
，由此即可得到x+y+z的值．
解答：解：根據柯西不等式，得
（x+2y+3z）2≤（12+22+32）（x2+y2+z2）=14（x2+y2+z2）
當且僅當
x
1
=
y
2
=
z
3
時，上式的等號成立
∵x2+y2+z2=1，∴（x+2y+3z）2≤14，
結合x+2y+3z=
14
，可得x+2y+3z恰好取到最大值
14

∴
x
1
=
y
2
=
z
3
=
14
14
，可得x=
14
14
，y=
14
7
，z=
3
14
14

因此，x+y+z=
14
14
+
14
7
+
3
14
14
=
3
14
7

故答案為：
3
14
7
點評：本題給出x、y、z的平方和等于1，在x+2y+3z恰好取到最大值
14
的情況下求x+y+z的值．著重考查了運用柯西不等式求最值的方法，屬于中檔題．抓住柯西不等式的等號成立的條件，是本題得以解決的關鍵．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•湖北）如圖，AB是圓O的直徑，點C是圓O上異于A，B的點，直線PC⊥平面ABC，E，F分別是PA，PC的中點．
（Ⅰ）記平面BEF與平面ABC的交線為l，試判斷直線l與平面PAC的位置關系，并加以證明；
（Ⅱ）設（Ⅰ）中的直線l與圓O的另一個交點為D，且點Q滿足
DQ
=
1
2
CP
．記直線PQ與平面ABC所成的角為θ，異面直線PQ與EF所成的角為α，二面角E-l-C的大小為β．求證：sinθ=sinαsinβ．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•湖北）設n是正整數，r為正有理數．
（Ⅰ）求函數f（x）=（1+x）r+1-（r+1）x-1（x＞-1）的最小值；
（Ⅱ）證明：
nr+1-(n-1)r+1
r+1
＜nr＜
(n+1)r+1-nr+1
r+1
；
（Ⅲ）設x∈R，記[x]為不小于x的最小整數，例如[2]=2，[π]=4，[-
3
2
]=-1．令S=
381
+
382
+
383
+…+
3125
，求[S]的值．
（參考數據：80
4
3
≈344.7，81
4
3
≈350.5，124
4
3
≈618.3，126
4
3
≈631.7)．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•湖北）i為虛數單位，設復數z1，z2在復平面內對應的點關于原點對稱，若z1=2-3i，則z2=
-2+3i
-2+3i
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•湖北）設a＞0，b＞0，已知函數f（x）=
ax+b
x+1
．
（Ⅰ）當a≠b時，討論函數f（x）的單調性；
（Ⅱ）當x＞0時，稱f（x）為a、b關于x的加權平均數．
（i）判斷f（1），f（
b
a
），f（
b
a
）是否成等比數列，并證明f（
b
a
）≤f（
b
a
）；
（ii）a、b的幾何平均數記為G．稱
2ab
a+b
為a、b的調和平均數，記為H．若H≤f（x）≤G，求x的取值范圍．

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