Question

【題目】設f（x）是偶函數，且在（0，+∞）上是減函數，又f（﹣1）=0，則xf（x）＜0的解集是（ ）
A.（﹣1，1）
B.（1，+∞）
C.（﹣1，0）∪（1，+∞）
D.（﹣∞，﹣1）∪（0，1）

Answer 1

【答案】C
【解析】解：∵f（x）是偶函數，∴f（1）=f（﹣1）=0；
又∵f（x）在（0，+∞）上是減函數，
∴當0＜x＜1時，f（x）＞0，當x＞1時，f（x）＜0；
∴不等式xf（x）＜0在（0，+∞）上的解集是（1，+∞）；
又f（x）是偶函數，
∴f（x）在（﹣∞，0）上是增函數，
當﹣1＜x＜0時，f（x）＞0，當x＜﹣1時，f（x）＜0；
不等式xf（x）＜0在（﹣∞，0）上的解集是（﹣1，0）；
綜上，xf（x）＜0的解集是（﹣1，0）∪（1，+∞）；
故選：C．
【考點精析】掌握函數奇偶性的性質是解答本題的根本，需要知道在公共定義域內，偶函數的加減乘除仍為偶函數；奇函數的加減仍為奇函數；奇數個奇函數的乘除認為奇函數；偶數個奇函數的乘除為偶函數；一奇一偶的乘積是奇函數;復合函數的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇．