Question

函數f（x）=sin（

π

4

x）+c-2（c為常數），若f（x）=0的根成公差為4的等差數列，則f（4）的值是（　　）

• A．0
• B．1
• C．-1
• D．

  π

  4

Answer 1

分析：設方程的兩根分別為x₁，為x₂，由題意可得x₂=x₁+4k，由它們都滿足方程可得兩個等式，代入化簡可得c=2，再代入已知式子計算可得．

解答：解：設方程的兩根分別為x₁，x₂，
由題意可得x₂=x₁+4k，k∈Z，
∴sin（

π

4

x1）+c-2=0，且sin

π

4

(x1+4k)+c-2=0
∴sin（

π

4

x1）=sin

π

4

(x1+4k)=sin（

π

4

x1+kπ）對任意整數k總成立
當k為偶數時，sin（

π

4

x1）=sin（

π

4

x1）顯然成立
當k為奇數時，sin（

π

4

x1）=-sin（

π

4

x1）成立，
即sin（

π

4

x1）=sin（

π

4

x1）與sin（

π

4

x1）=-sin（

π

4

x1）都成立，
∴必有sin（

π

4

x1）=0，∴c=2，
所以f（x）=sin（

π

4

x）
∴f（4）=sinπ=0
故選A

點評：本題考查等差數列的性質和三角函數的運算，屬中檔題．