Question

【題目】已知二次函數的對稱軸為，．

（1）求函數的最小值及取得最小值時的值；

（2）試確定的取值范圍，使至少有一個實根；

（3）若，存在實數，對任意，使恒成立，求實數的取

值范圍．

Answer 1

【答案】（1），此時；（2）；（3）．

【解析】

試題分析：（1）由，則，利用基本不等式，即可求解函數的最小值及取得最小值時的值；（2）根據二次函數的性質，可得，使得，即可求解的取值范圍；（3）由已知對任意，恒成立，∴，令，轉化為存在，使成立，分類討論即可求解實數的取值范圍．

試題解析：（1）∵，∴，

∴，當且僅當，即時“”成立，即，此時．

（2）的對稱軸為，∴，∴，

至少有一實根，∴至少有一實根，

即與的圖象在上至少有一個交點，

，∴，，

∴，∴，∴的取值范圍為．

（3） ，∴，

由已知存在實數，對任意，恒成立，

∴，

令，∴

轉化為存在，使成立，

令，∴的對稱軸為，

①當，即時，

，

∴∴．

②當，即時，，

∴∴∴．

綜上，的取值范圍為．