Question

【題目】已知函數f（x）=2lnx﹣ax+a（a∈R）．
（1）討論f（x）的單調性；
（2）若f（x）≤0恒成立，證明：當0＜x1＜x2時， ．

Answer 1

【答案】
（1）解：求導得f′（x）= ，x＞0．

若a≤0，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上遞增；

若a＞0，當x∈（0， ）時，f′（x）＞0，f（x）單調遞增；

當x∈（ ，+∞）時，f′（x）＜0，f（x）單調遞減．

（2）解：由（1）知，若a≤0，f（x）在（0，+∞）上遞增，

又f（1）=0，故f（x）≤0不恒成立．

若a＞2，當x∈（ ，1）時，f（x）遞減，f（x）＞f（1）=0，不合題意．

若0＜a＜2，當x∈（1， ）時，f（x）遞增，f（x）＞f（1）=0，不合題意．

若a=2，f（x）在（0，1）上遞增，在（1，+∞）上遞減，

f（x）≤f（1）=0，合題意．

故a=2，且lnx≤x﹣1（當且僅當x=1時取“=”）．

當0＜x1＜x2時，f（x2）﹣f（x1）=2ln ﹣2（x2﹣x1）

＜2（ ﹣1）﹣2（x2﹣x1）

=2（ ﹣1）（x2﹣x1），

∴ ＜2（ ﹣1）

【解析】（1）利用導數的運算法則可得f′（x），對a分類討論即可得出其單調性；（2）通過對a分類討論，得到當a=2，滿足條件且lnx≤x﹣1（當且僅當x=1時取“=”）．利用此結論即可證明．
【考點精析】認真審題，首先需要了解函數單調性的性質(函數的單調區間只能是其定義域的子區間 ,不能把單調性相同的區間和在一起寫成其并集)，還要掌握利用導數研究函數的單調性(一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減)的相關知識才是答題的關鍵．