Question

如圖，已知三棱柱ABC－A₁B₁C₁的所有棱長都相等，且側棱垂直于底面，由

B沿棱柱側面經過棱C C₁到點A₁的最短路線長為,設這條最短路線與CC₁的交

點為D．

（1）求三棱柱ABC－A₁B₁C₁的體積；

（2）在平面A₁BD內是否存在過點D的直線與平面ABC平行？證明你的判斷；

（3）證明：平面A₁BD⊥平面A₁ABB₁．

Answer 1

(1)   (2)在平面A₁BD內存在過點D的直線與平面ABC平行  

 (3)證明見解析

解析:

(1)如圖，將側面BB₁C₁C繞棱CC₁旋轉120°使其與側面AA₁C₁C在同一平面上，點B運動到點B₂的位置，連接A₁B₂，則A₁B₂就是由點B沿棱柱側面經過棱CC₁到點A₁的最短路線。                                            ……………………………………1分

設棱柱的棱長為，則B₂C=AC=AA₁＝,

∵CD∥AA₁∴D為CC₁的中點，……………………………2分

在Rt△A₁AB₂中，由勾股定理得，

即　解得，……………………4分

∵∴  ……………………………………6分

(2)設A₁B與AB₁的交點為O,連結BB₂,OD，則……………………………7分

∵平面，平面  ∴平面，

即在平面A₁BD內存在過點D的直線與平面ABC平行   ……………………………9分

 (3)連結AD,B₁D ∵≌≌

∴   ∴……………………………11分

  　∵     ∴平面A₁ABB₁      ……………………………13分

又∵平面A₁BD    ∴平面A₁BD⊥平面A₁ABB₁  ……………………………………14分