Question

（2008•黃浦區一模）在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2a，BC=BB₁=a，B₁C與BC₁交于O點．
（1）求異面直線AB₁與BC₁所成角的大小（結果用反三角函數值表示）；
（2）求證：B₁O⊥平面ABC₁D₁；（3）求二面角B₁-AD₁-O的大小（結果用反三角函數值表示）．

Answer 1

分析：首先分別以DA，DC，DD₁為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，再根據題意寫出各點的坐標．
（1）求出

AB1

=（0，2a，a），

BC1

=（-a，0，a），再結合向量之間的運算求出兩個向量夾角的余弦值，再轉化為兩條直線的夾角，
（2）由題意可得B₁C⊥BC₁，AB⊥B₁C，再根據線面垂直的判斷定理證明線面垂直即可．
（3）分別設出兩個平面的法向量，根據法向量與平面上的向量數量積等于0，求出兩個平面的法向量，再根據兩個向量的有關運算求出兩個向量的夾角，進而轉化為二面角的平面角的余弦值，求出答案即可．

解答：解：分別以DA，DC，DD₁為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，如圖所示：

因為AB=2a，BC=BB₁=a，B₁C與BC₁交于O點，
所以各點的坐標為：A（a，0，0），B₁（a，2a，a），B（a，2a，0），C₁（0，2a，a），D₁（0，0，a），O（

a

2

，2a，

a

2

），
（1）由以上可得：

AB1

=（0，2a，a），

BC1

=（-a，0，a），
所以cos＜

AB1

，

BC1

＞=

AB1 • BC1

| AB1 |  | BC1 |

=

10

10

，
所以異面直線AB₁與BC₁所成角的大小為arccos

10

10

．
（2）因為BC=BB₁，
所以B₁C⊥BC₁，
又因為在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
所以AB⊥B₁C，
因為AB∩BC₁=B，BC₁?平面ABC₁D₁，AB?平面ABC₁D₁，
所以B₁C⊥平面ABC₁D₁，即B₁O⊥平面ABC₁D₁，
所以B₁O⊥平面ABC₁D₁．
（3）設平面B₁AD₁與平面AD₁O的法向量分別為：

v

=(b，c，d)，

n

=(x，y，z)，
由題意可得：

AB1

=（0，2a，a），

AD1

=(-a，0，a)，
所以

v • AB1 =0 v •  AD1 =0

，即

2c+d=0 b=d

，
所以取平面B₁AD₁的法向量

v

=(-1，

1

2

，-1)；
由題意可得：

AO

=(-

a

2

，2a，

a

2

)，

AD1

=(-a，0，a)，
所以

n • AO =0 n • AD1 =0

，即

x-2y-z=0 x=z

，
所以取平面AD₁O的法向量

n

=(1，0，1)，
所以cos＜

n

，

v

＞=

v • n

| v || n |

=-

2 2

3

，
因為二面角B₁-AD₁-O的大小與＜

n

，

v

＞互補，
所以二面角B₁-AD₁-O的余弦值為：

2 2

3

，
所以二面角B₁-AD₁-O的大小為arccos

2 2

3

．

點評：本題考查用線面垂直的判定定理證明線面垂直，以及求二面角的平面角與線線角，解決空間角的關鍵是做角，由圖形的結構及題設條件正確作出平面角來，是求角的關鍵，也可以根據幾何體的結構特征建立空間直角坐標系利用向量的有關知識解決空間角等問題．