Question

函數f（x）的定義域為R，若f（x+1）與f（x-1）都是奇函數．則

1. A.
   f （x）是偶函數
2. B.
   f （x）是奇函數
3. C.
   f （x+2）=f （x）
4. D.
   f （x+3）是奇函數

Answer 1

D
分析：首先由奇函數性質求f（x）的周期以及對稱中心，然后利用所求結論來分別判斷四個選項即可
解答：∵f（x+1）與f（x-1）都是奇函數，
∴f（-x+1）=-f（x+1），f（-x-1）=-f（x-1），
∴函數f（x）關于點（1，0）及點（-1，0）對稱，所以f（x）不是奇函數也不是偶函數，故選項A、B錯；
又因為函數f（x）是周期T=2[1-（-1）]=4的周期函數，故選項C錯；
∵f（-x-1）=-f（x-1），
∴f（-x-1+4）=-f（x-1+4），即f（-x+3）=-f（x+3），
∴f（x+3）是奇函數，故選項D正確．
故選D．
點評：本題主要考查抽象函數中一些主條件的變形，來考查函數有關性質，方法往往是緊扣性質的定義．