Question

設某銀行的總存款額與銀行付給存儲戶的年利率的平方成正比，比例系數為k（k＞0），若銀行以9%的年利率將總存款的80%貸出，問：銀行給存儲戶支付的年利率為多少時，銀行才能獲得最大利潤？

Answer 1

解：設銀行支付給儲戶的年利率為x，銀行獲得的年利潤為y，
年利潤為y=貸款所得利潤-支付儲戶利息的成本
則y=kx²×0.8×0.09-kx²•x=0.072kx²-kx³（x＞0）．
y'=0.144kx-3kx²=3kx（0.048-x），
令y'=0，得x=0.048，
當x＜0.048時，y'＞0；
當x＞0.048時，y'＜0．
故當x=0.048時，y取極大值，
并且這個極大值就是函數y的最大值．
所以，當銀行支付給儲戶年利率為4.8%時，銀行才能獲得最大利潤．
分析：設銀行支付給儲戶的年利率為x，銀行獲得的年利潤為y，然后建立年利潤y關于年利率x的函數關系，利用導數研究函數的最值即可．
點評：本題主要考查函數的生產實際中的具體應用，以及利用導數研究函數的最值，屬于中檔題．