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已知斜三棱柱，∠BCA＝90°，AC＝BC＝a，在底面ABC上的射影恰為AC的中點D，又．

(1)求證：BC⊥平面；

(2)求與平面ABC所成的角；

(3)求二面角的正切值．

答案：
解析：

(1)∵⊥平面ABC，∴，又∵AC⊥BC，∴BC⊥平面．

(2)∵⊥平面ABC，∴是與底面ABC所成的角．

由(1)知，BC⊥平面，又．∴，∴是菱形，∴，∵⊥AC，且，

∴，即與底面ABC所成的角為60°．

(3)由(1)知，BC⊥平面，作CN⊥于點N，∵是等邊三角形，∴點N是的中點，連NB，則BN⊥，∴∠BNC是二面角的平面角，易知，，BC＝a．

∴在Rt△BCN中，，∴二面角的正切值為．


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的各棱長均為2，側棱與底面所成的角為
π3
，頂點B1在底面ABC上的射影D在AB上．
（1）求證：側面ABB1A1⊥底面ABC；
（2）證明：B1C⊥AB；
（3）求二面角B1-BC-A的正切值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，已知斜三棱柱ABC-A1B1C1，∠BCA=90°AC=BC=a，A1在底面ABC上的射影恰為AC的中點D，又A1B⊥AC1．
（Ⅰ）求證：BC⊥平面ACC1A1；
（Ⅱ）求AA1與平面ABC所成的角；
（Ⅲ）求二面角B-AA1-C的正切值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2010•武昌區模擬）如圖，已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面是直角三角形，∠C=90°，側棱與底面所成的角為α（0°＜α＜90°），點B1在底面上的射影D落在BC上．

（1）若點D恰為BC的中點，且AB1⊥BC1求α的值．
（2）若α=arccos
13
，且當AC=BC=AA1時，求二面角C1-AB-C的大�。�

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•太原一模）已知斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=BC=2，點D為AC的中點，A1D⊥平面ABC，A1B⊥ACl
（I）求證：AC1⊥AlC；
（Ⅱ）求三棱錐Cl-ABC的體積．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的側面A1ACC1與底面ABC垂直，∠ABC=90°，BC=2，AC=2
3
，且AA1⊥A1C，AA1=A1C．
①求側面A1ABB1與底面ABC所成銳二面角的大小；
②求頂點C到側面A1ABB1的距離．

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