Question

如圖，在四棱錐中，平面平面，，是等邊三角形，已知.

（1）設是上的一點，證明：平面平面；

（2）求二面角的余弦值.

 

Answer 1

【答案】

（1）詳見試題解析；（2）二面角的余弦值為.

【解析】

試題分析：（1）由勾股定理得：。根據面面垂直的性質定理，可得平面

再由面面垂直的判定定理得：平面平面；

（2）思路一、由于，故可以為原點建立空間直角坐標系，利用向量方法可求得二面角的余弦值.

思路二、作出二面角的平面角，然后求平面角的余弦值.

由（1）知平面，所以平面平面

過作的垂線，該垂線即垂直平面

再過垂足作的垂線，將垂足與點連起來，便得二面角的平面角

試題解析：（1）證明：在中，由于,,,

,故.

又，

，，又，

故平面平面                                              5分

（2）法一、如圖建立空間直角坐標系，, ,

 

  , .

設平面的法向量, 由

令, .

設平面的法向量, 由

即，令

,二面角的余弦值為          12分

法二、

由（1）知平面，所以平面平面

過作交于，則平面

再過作交于，連結，則就是二面角的平面角

由題設得。由勾股定理得：

所以.

二面角的余弦值為                                      12分

考點：1、面面垂直的性質和判定定理；2、二面角的求法