Question

【題目】已知橢圓方程是 =1，F1 ， F2是它的左、右焦點，A，B為它的左、右頂點，l是橢圓的右準線，P是橢圓上一點，PA、PB分別交準線l于M，N兩點．
（1）若P（0， ），求 的值；
（2）若P（x0 ， y0）是橢圓上任意一點，求 的值；
（3）能否將問題推廣到一般情況，即給定橢圓方程是 =1（a＞b＞0），P（x0 ， y0）是橢圓上任意一點，問 是否為定值？證明你的結論．

Answer 1

【答案】
（1）解：橢圓 =1的a=2，b= ，c=1，

可得A（﹣2，0），B（2，0），F1（﹣1，0），F2（1，0），右準線l：x=4，

由P（0， ），可得直線PA的方程為y= （x+2），令x=4，可得M（4，3 ），

同理可得N（4，﹣ ），

則 =（﹣1﹣4，﹣3 ）（1﹣4， ）=﹣5×（﹣3）﹣3 × =6

（2）解：設P（x0，y0），則 + =1，即y02=3（1﹣ ），

直線PA的方程為y= （x+2），（x0≠﹣2），

與x=4聯立，可得M（4， ），同理可得N（4， ），

則 =（﹣5，﹣ ）（﹣3，﹣ ）=15+

=15+ =15﹣9=6；

（3）解： 為定值2b2．

證明：由橢圓 =1，

可得A（﹣a，0），B（a，0），F1（﹣c，0），F2（c，0），右準線l：x= ，

設P（x0，y0），則 =1，即y02=b2（1﹣ ），

直線PA的方程為y= （x+a），（x0≠﹣a），

與x= 聯立，可得M（ ， ），

同理可得N（ ， ），

則 =（﹣c﹣ ，﹣ ）（c﹣ ，﹣ ）

= ﹣c2+ = +

= ﹣ = =2b2

【解析】（1）求得橢圓的a，b，c，可得頂點的坐標和焦點的坐標，求出直線PA的方程，求得M的坐標，同理可得N的坐標，運用向量的數量積的坐標表示，可得結論；（2）設P（x0 ， y0），則 1，即y02=3（1﹣ ），求得直線PA的方程，可得M的坐標，以及N的坐標，運用向量的數量積的坐標表示，即可得到所求值6；（3） 為定值2b2 ． 設出橢圓的左右頂點和焦點，右準線方程，求得直線PA的方程，可得M的坐標和N的坐標，運用向量的數量積的坐標表示，化簡整理，即可得到定值．