Question

已知函數.
（Ⅰ）當時，求曲線在點處的切線方程；
（Ⅱ）求的單調區間；
（Ⅲ）若在區間上恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

（Ⅰ）切線方程為. 
（Ⅱ）當時，的單調增區間是和，單調減區間是；
當時，的單調增區間是；
當時，的單調增區間是和，單調減區間是.
（Ⅲ）.

解析試題分析：（Ⅰ）切線的斜率，等于在切點的導函數值.
（Ⅱ）通過“求導數，求駐點，討論各區間導數值的正負”，確定函數的單調區間。本題應特別注意討論，，時的不同情況.
（Ⅲ）在區間上恒成立，只需在區間的最小值不大于0.
試題解析：（Ⅰ）因為，,
所以,                                1分
，,                                         3分
所以切線方程為.                                        4分
（Ⅱ）,                5分
由得,                                      6分
當時，在或時，在時,
所以的單調增區間是和，單調減區間是；         7分
當時，在時，所以的單調增區間是；   8分
當時，在或時，在時.
所以的單調增區間是和，單調減區間是.         10分
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知在區間上只可能有極小值點，
所以在區間上的最大值在區間的端點處取到，             12分
即有且,
解得.                                14分
考點：導數的幾何意義，應用導數研究函數的單調性、最值.