Question

已知函數f(x)在（-1，1）上有定義，f()=-1,當且僅當0＜x＜1時，f(x)＜0，且對任意x、y∈(-1,1)，都有f(x)+f(y)=f(),試證明：

（1）f(0)=0且f(x)為奇函數；

（2）若數列{x_n}滿足x₁=,x_n+1=,求f(x_n)；

（3）在（2）的條件下，求.

Answer 1

證明：（1）令x=y=0,由f(x)+f(y)=f（)，得f(0)=0.

又令y=-x，則f(x)+f(-x)=f()=f(0)=0.

∴f(-x)=-f(x）.

∴f(x)為奇函數.

（2）∵x₁=＞0，x_n+1=，易知x_n+1＞0,

即x_n＞0,且x_n≠1，x_n+1=＜=1,

∴f(x_n+1)=f()=f(x_n)+f(x_n)=2f(x_n).

∴{f(x_n)}是以f(x₁)=f()=-1為首項，2為公比的等比數列.

∴f(x_n)=-2^n-1.

（3）===2.