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過雙曲線-=1(a>0,b>0)的一個焦點F作x軸的垂線,交雙曲線的一支于P、Q兩點,又過F作一直線平行于雙曲線的一條漸近線,交雙曲線于R,求證:|PQ|=4|FR|.

證明:設F點的坐標為(c,0),?

將x=c代入雙曲線方程-=1,

得y2=,

∴|PQ|=.

過點F(c,0)且與雙曲線的漸近線bx+ay=0平行的直線為y=-(x-c),?

代入雙曲線方程,得- =1.

解之得x=,代入y=-(x-c),

得y=- (-c),即y=-.

∴|FR|2=(x-c)2+y2=(-c)2+

= +=·(1+)

=·=.

故|FR|=,∴|PQ|=4|FR|.

溫馨提示:證|PQ|等于4|FR|,需用雙曲線的基本量a、b表示它們.

練習冊系列答案
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過雙曲線=1(a＞0,b＞0)的左焦點且垂直于x軸的直線與雙曲線相交于M、N兩點,以MN為直徑的圓恰好過雙曲線的右頂點,則雙曲線的離心率等于___________.

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A.2                  B.3                 C.                   D.

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A．x±y=0        B．2x±y=0        C．4x±y=0       D．x±2y=0

 

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