Question

給出定義：若m-

1

2

＜x≤m+

1

2

（其中m為整數），則m叫做離實數x最近的整數，記作{x}，即{x}=m，在此基礎上給出下列關于函數f（x）=x-{x}的四個命題：
①y=f（x）的定義域是R，值域是（-

1

2

，

1

2

]；
②點（k，0）（k∈Z）是y=f（x）的圖象的對稱中心；
③函數y=f（x）在（-

1

2

，

3

2

]上是增函數；
④函數y=f（x）的最小正周期為1；
則其中真命題是

①④

．

Answer 1

分析：根據題意，先對函數化簡，然后作出函數的圖象，根據函數的圖象可判斷各個選項是否正確．

解答：解：由定義：m-

1

2

＜x≤m+

1

2

（其中m為整數），得-

1

2

＜x-m≤

1

2

，
據此可畫出函數圖象：

①∵對于任意實數x，函數f（x）都有意義，故函數的定義域為R，值域是（-

1

2

，

1

2

]；
②∵（

1

2

，

1

2

）在圖象上，（-

1

2

，-

1

2

）不在圖象上，∴點（0，0）不是y=f（x）的圖象的對稱中心；②錯；
③函數y=f（x）在（-

1

2

，

1

2

）上是增函數；③錯；
④從圖象的周期性變化來看，函數y=f（x）的最小正周期為1；
由此可選擇①④．
故答案為：①④．

點評：本題為新定義題目，解題的關鍵是讀懂定義內涵，嘗試探究解決，屬難題．