Question

【題目】如圖，在正四棱柱中，，，建立如圖所示的空間直角坐標系.

（1）若，求異面直線與所成角的大小；

（2）若，求直線與平面所成角的正弦值；

（3）若二面角的大小為，求實數的值.

Answer 1

【答案】（1）異面直線與所成角為；（2）與平面所成角的正弦值為；（3）二面角的大小為，的值為.

【解析】分析：（1）由題意可得和的坐標，可得夾角的余弦值；

（2）求出平面的法向量，即可求出答案；

（3）設，表示出平面的法向量和平面的法向量，利用二面角的大小為，即可求出t.

詳解：（1）當時，，，，，，

則，

，

故，

所以異面直線與所成角為．

（2）當時，，，，，，

則，，

設平面的法向量，

則由得，

不妨取，則， 此時，

設與平面所成角為，因為，

則，

所以與平面所成角的正弦值為．

（3）由得，，，

設平面的法向量，

則由得，

不妨取，則， 此時，

又平面的法向量，

故，解得，

由圖形得二面角大于，所以符合題意．

所以二面角的大小為，的值為．