Question

【題目】已知曲線C： + =1，直線l： （t為參數）
（1）寫出曲線C的參數方程，直線l的普通方程．
（2）過曲線C上任意一點P作與l夾角為30°的直線，交l于點A，求|PA|的最大值與最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：對于曲線C： + =1，可令x=2cosθ、y=3sinθ，

故曲線C的參數方程為 ，（θ為參數）．

對于直線l： ，

由①得：t=x﹣2，代入②并整理得：2x+y﹣6=0；

（2）解：設曲線C上任意一點P（2cosθ，3sinθ）．

P到直線l的距離為 ．

則 ，其中α為銳角．

當sin（θ+α）=﹣1時，|PA|取得最大值，最大值為 ．

當sin（θ+α）=1時，|PA|取得最小值，最小值為 ．

【解析】（1）聯想三角函數的平方關系可取x=2cosθ、y=3sinθ得曲線C的參數方程，直接消掉參數t得直線l的普通方程；（2）設曲線C上任意一點P（2cosθ，3sinθ）．由點到直線的距離公式得到P到直線l的距離，除以sin30°進一步得到|PA|，化積后由三角函數的范圍求得|PA|的最大值與最小值．