Question

已知,
（Ⅰ）當時，求曲線在點處的切線方程；
（Ⅱ）若在處有極值，求的單調遞增區間；
（Ⅲ）是否存在實數，使在區間的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，說明理由.

Answer 1

（Ⅰ） （Ⅱ）  （Ⅲ）

試題分析：（Ⅰ）求曲線在一點處的切線方程，一要抓切點（1,2），一要抓導數的幾何意義即切線的斜率，便求出切線方程；（Ⅱ）先利用極值求出系數，再利用及定義域，求出單調遞增區間為；（Ⅲ）利用導數求某區間上的最值,要綜合應用極值、單調性進行判定求解,特別對的形式、的根進行分類討論.多見于單調函數、單峰（谷）函數.
試題解析：（Ⅰ）函數的定義域為， 因為，所以
當時，，，所以，
所以曲線在點處的切線方程為，即.       3分
（Ⅱ）因為在處有極值，所以， 由（Ⅰ）知，所以
經檢驗，時在處有極值．                        4分
所以，令,解得或；
因為的定義域為，所以的解集為，
即的單調遞增區間為.                       6分
（Ⅲ）假設存在實數，使在區間上有最小值3，由，
① 當時， ，在上單調遞減，
，解得，舍去.              8分
②當即時，在上單調遞減，在上單調遞增，
，解得，滿足條件.         10分
③ 當即時，，
所以在上單調遞減，，解得，舍去.
綜上，存在實數，使在區間上的最小值是3.      12分