Question

【題目】設，曲線在點處的切線與直線垂直．

（1）求的值；

（2）若對于任意的， 恒成立，求的取值范圍；

（3）求證： ．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）詳見解析

【解析】試題分析:（Ⅰ）先求導數，再根據導數幾何意義列方程，解方程可得的值；（Ⅱ）不等式恒成立問題，一般轉化為對應函數最值問題，本題去分母轉化為差函數： ，因為，所以最大值不小于，根據導函數符號可得才滿足條件.（Ⅲ）不等式證明中涉及求和問題，一般方法為適當放縮，再利用裂項相消法給予證明.本題由（Ⅱ）知，當時, 時, 成立，所以放縮這一難點已暗示，下面只需令得，即，最后疊加可得證.

試題解析：（Ⅰ）

由題設，∴ .

（Ⅱ）,， ，即

設，即.

①若， ，這與題設矛盾

②若當, 單調遞增， ，與題設矛盾.

③若當， 單調遞減， ，即不等式成立

綜上所述， .

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當時, 時, 成立.

不妨令所以，

…………

累加可得

∴