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【題目】在半徑為R的圓桌上擺放同樣大小的半徑為r的硬幣.要求硬幣不準露出圓桌面邊緣，并且所擺硬幣彼此不能重疊.當擺放n枚硬幣之后，圓桌上就不能再多擺放一枚這種硬幣了.求證：.

【答案】見解析

【解析】

由于n枚半徑為r的硬幣無重疊地擺放在半徑為R的圓桌面內，所以n個半徑為r的硬幣覆蓋的總面積小于半徑為R的圓面積，即有.所以.

現設想把n枚硬幣的半徑擴大一倍成為半徑為2r的“加層硬幣”.則這n枚“加層硬幣”必完全覆蓋住半徑為（R - r）的圓面.如若不然的話，設在R - r為的圓面上至少有一點P沒被這n個半徑為2r的“加層硬幣”蓋住，則P點到諸半徑為r的硬幣之間的距離均大于r.所以以P為中心r為半徑的圓面可以與前面所放的n枚硬幣無重疊地放入半徑為R的圓桌面內.這與題設條件矛盾.

所以有.化簡可得.綜合可得.

練習冊系列答案
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A.
B.
C.
D.

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若，則；

若，則；

若，則；

若直線，直線，則；

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若直線，那么直線a就平行于平面內的無數條直線．

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得到業余足球運動員每周平均踢足球所占用時間的頻率分布直方圖（如圖所示），其中樣本數據分組區間為：（0，2]，（2，4]，（4，6]，（6，8]，（8，10]，（10，12]．
將“業務運動員的每周平均踢足球時間所占用時間超過4小時”
定義為“熱愛足球”．
附：K2=

P（K2≥k0）

0.10

0.05

0.010

0.005

k0

2.706

3.841

6.635

7.879


（1）應收集多少位女運動員樣本數據？
（2）估計該地區每周平均踢足球所占用時間超過4個小時的概率．
（3）在樣本數據中，有80位女運動員“熱愛足球”．請畫出“熱愛足球與性別”列聯表，并判斷是否有99%的把握認為“熱愛足球與性別有關”．

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