Question

將與105互素的所有正整數從小到大排成數列，試求出這個數列的第1000項．

Answer 1

分析：由105=3×5×7，知不超過105而與105互質的正整數有48個．由此能求出這個數列的第1000項．

解答：解：由105=3×5×7，
由容斥原理，每連續105個數中，
有105-（

105

3

+

105

5

+

105

7

）+

105

3×5

+

105

5×7

+

105

3×7

-

105

3×5×7

=105×（1-

1

3

）（1-

1

5

）（1-

1

7

）=48，
故不超過105而與105互質的正整數有48個．
1000=48×20+48-8，
105×20=2100．
自105向前倒數，第9個與105互素的數是86，
∴在不超過105的與105互質的數中第40個數是86．
∴所求數為2100+86=2186．
故這個數列的第1000項是2186．

點評：本題考查數列的應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意等價轉化思想的合理運用．