Question

如圖，已知PA⊥面ABCD，PA=AB=AD=CD，∠BAD=∠ADC=90°
（1）在面PCD上找一點M，使BM⊥面PCD；
（2）求由面PBC與面PAD所成角的二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）設M為PC的中點，PD中點為N，由條件可得ABMN為平行四邊形，BM∥AN．再根據AN⊥面PCD，可得BM⊥面PCD．
（2）延長CB交DA于E，證明PE⊥面PCD，可得∠CPD為二面角C-PE-D的平面角．求得得tan∠CPD=，可得cos∠CPD的值．
解答：解：（1）M為PC的中點，設PD中點為N，則MN=CD，且MN∥CD，∴MN=AB，MN∥AB．
再由 PA=AB=AD=CD，可得ABMN為平行四邊形，∴BM∥AN．
可得∠PAD=90°，∴AN⊥PD，又CD⊥AN，∴AN⊥面PCD，∴BM⊥面PCD．…（6分）
（2）延長CB交DA于E，∵AB=CD，且AB∥CD，∴AE=AD=PA，∴PD⊥PE．
又∴PE⊥CD，∴PE⊥面PCD，∴∠CPD為二面角C-PE-D的平面角．
再由PD=AD，CD=2AD，可得tan∠CPD=，
∴cos∠CPD=．…（12分）
點評：本題主要考查直線和平面平行的判定定理的應用，求二面角的平面角的方法，體現了轉化的數學思想，屬于中檔題．