Question

如圖，已知邊長都為1正方形ABCD與正方形ABEF，∠DAF=90°，M，N分別是對角線AC和BF上的點，且AM=FN=a(0＜a＜

2

)．
（1）求證：MN∥平面BCE；
（2）求MN的最小值．

Answer 1

分析：（1）過M作MP⊥AB，垂足為P，連接PN，由平行線分線段成比例定理，我們易得到PN∥AF，由面面平行的判定定理可得平面MPN∥平面CBE，再由面面平行的性質，即可得到MN∥平面BCE；
（2）由已知中邊長都為1正方形ABCD與正方形ABEF，∠DAF=90°，AM=FN=a(0＜a＜

2

)，根據勾股定理，我們易得MN²=a2-

2

a+1，根據二次函數的性質，易得到MN的最小值．

解答：解：（1）證明：過M作MP⊥AB，垂足為P，連接PN．
∵

AM

MC

=

AP

PB

，又

AM

MC

=

FN

NB

∴

AP

PB

=

FN

NB

[（2分）]
∴PN∥AF
∴平面MPN∥平面CBE[（4分）]
從而MN∥平面BCE[（6分）]
 （2）∠MPN=90°MP=

2

2

a，PN=1-

2

2

a[（8分）]
由勾股定理知：MN2=MP2+PN2=a2-

2

a+1=(a-

2

2

)2+

1

2

[（10分）]
當a=

2

2

a時，MN的最小值為

2

2

．[（12分）]

點評：本題考查的知識點是直線與平面平行的判定，空間中兩點之間的距離運算，其中（1）中，根據線面平行的判定定理證明有較大的難度，故采用先證面面平行，再由面面平行的性質得到線面平行，（2）的關鍵是將空間兩點間的距離表示成a的函數，進而轉化成求函數最值的問題．