Question

已知橢圓：的左焦點為，右焦點為．

（Ⅰ）設直線過點且垂直于橢圓的長軸，動直線垂直于點P，線段的垂直平分線交于點M，求點M的軌跡的方程；

（Ⅱ）設為坐標原點，取曲線上不同于的點，以為直徑作圓與相交另外一點，求該圓的面積最小時點的坐標．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）（Ⅱ）.

【解析】

試題分析：(Ⅰ) 利用拋物線的定義“到定點的距離等于到定直線的距離”來求；(Ⅱ) 直線與拋物線相交，聯立消元，設點代入化簡，利用基本不等式求最值.

試題解析：（I）在線段的垂直平分線上，∴| MP | = | M |

故動點M到定直線的距離等于它到定點的距離

因此動點M的軌跡是以為準線，為焦點的拋物線，      

所以點M的軌跡的方程為        

(II)因為以OS為直徑的圓與相交于點R，

所以，即

設，，則

，，，

所以，即

∵，，∴     

 故，當且僅當，即時等號成立

當時，，圓的直徑，

這時點S的坐標為．

考點：拋物線的定義，向量的坐標運算，基本不等式，坐標表示等，考查了學生的綜合化簡計算能力.