Question

（本題滿分13分）如圖，圓柱內有一個三棱柱，三棱柱的底面為圓柱底面的內接三角形，且AB是圓O直徑．

（Ⅰ）證明：平面平面；

（Ⅱ）設，在圓柱內隨機選取一點，記該點取自于三棱柱內的概率為．

（�。┊旤cC在圓周上運動時，求的最大值；

（ii）記平面與平面所成的角為，當取最大值時，求的值．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）見解析

（Ⅱ）（�。�  （ii）

【解析】（Ⅰ）因為平面ABC，平面ABC，所以，

因為AB是圓O直徑，所以，又，所以平面，

而平面，所以平面平面．          ………3分

（Ⅱ）（i）有AB=AA₁=2，知圓柱的半徑，其體積

三棱柱的體積為，

又因為，所以，

當且僅當時等號成立，從而，

故當且僅當，即時等號成立，

所以的最大值是．             ………8分

(ii）方法一：延長A₁A，B₁O交于G，取AC中點H，連OH，則OH∥BC，且，OH⊥平面，過H作HK⊥CG，連OK，則，在Rt中，作，則 有，則，在Rt中，，

方法二：取AC中點H，可用射影面積法

方法三：由（i）可知，取最大值時，，于是以O為坐標原點，

建立空間直角坐標系，則C（1，0，0），B（0，1，0），（0，1，2），

因為平面，所以是平面的一個法向量，

設平面的法向量，由，故，

取得平面的一個法向量為，因為，

所以．              ………13分