Question

對于連續函數f（x）和g（x），函數|f（x）-g（x）|在閉區間[a，b]上的最大值稱為f（x）與g（x）在閉區間[a，b]上的“絕對差”，記為△（f（x），g（x）），則x∈[2，3]時，△（

1

x+1

，

2

9

x²-x）=

 

．

Answer 1

分析：由已知中關于f（x）與g（x）在閉區間[a，b]上的“絕對差”的定義，我們構造函數F（x）=f（x）-g（x）=

1

x+1

-（

2

9

x²-x），根據函數的值域，及分析出F（x）＞0恒成立，再根據x∈[2，3]時，F′（x）＜0，可得當x=2時F（x）=f（x）-g（x）取最大值，代入計算即可得到答案．

解答：解：令F（x）=f（x）-g（x）=

1

x+1

-（

2

9

x²-x）
∴x∈[2，3]時，F（x）＞0恒成立
又∵x∈[2，3]時，F′（x）＜0
∴x∈[2，3]時，F（x）為減函數
當x=2時F（x）=f（x）-g（x）的最大值為

13

9

∴△（

1

x+1

，

2

9

x²-x）=

13

9

故答案為：

13

9

．

點評：本題考查的知識點是函數最值的應用，其中根據y=

1

x+1

與y=

2

9

x²-x的值域，分析出x∈[2，3]時，F（x）＞0恒成立，從而避免討論絕對值問題是解答本題的關鍵．