Question

已知函數f（x）=x³+3ax-1的導函數為f^′（x），g（x）=f^′（x）-ax-3．
（1）當a=-2時，求函數f（x）的單調區間；
（2）若對滿足-1≤a≤1的一切a的值，都有g（x）＜0，求實數x的取值范圍；
（3）若x•g^′（x）+lnx＞0對一切x≥2恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）當a=-2時，求函數f（x）=x³+3ax-1的導函數為f^′（x），令f^′（x）＞0，求出單調增區間；令f^′（x）＜0求出單調減區間；
（2）若對滿足-1≤a≤1的一切a的值，都有g（x）＜0，變更主元，轉化為關于a的一次函數，求出實數x的取值范圍；
（3）依題意，x•g^′（x）+lnx＞0對一切x≥2恒成立，采取分離參數的方法，轉化為求函數的最值問題．

解答：解：（1）當a=-2時，f′（x）=3x²-6．令f′（x）=0得x=±

2

，
故當x＜-

2

或x＞

2

時f′（x）＞0，f′（x）單調遞增；
當-

2

＜x＜

2

時f^′（x）＜0，f（x）單調遞減．
所以函數f′（x）的單調遞增區間為（-∞，-

2

]，[

2

，+∞）；單調遞減區間為(-

2

，

2

)；

（2）因f′（x）=3a²+3a，故g（x）=3x²-ax+3a-3．
令g（x）=h（a）=a（3-x）+3x²-3，要使h（a）＜0對滿足-1≤a≤1的一切a成立，
則

h(-1)=3x2+x-6＜0 h(1)=3x2-x＜0

，解得0＜x＜

1

3

；
0＜x＜

1

3

．

（3）因為g（x^′）=6x-a，
所以X（6x-a）+lnx＞0
即a＜6x+

lnx

x

=h(x)對一切x≥2恒成立．h′(x) =6+

1-lnx

x2

=

6x2+ 1-lnx

x2

，
令6x²+1-lnx=φ（x），φ′(x)=12x-

1

x

．
因為x≥2，所以φ^′（x）＞0，
故φ（x）在[2，+∞）單調遞增，有φ（x）≥φ（2）=25-ln2＞0．
因此h^′（x）＞0，從而h (x)≥h (2)=12+

ln2

2

．
所以a＜hmin(x)=h (2)=12+

ln2

2

．

點評：考查利用導數研究函數的單調性和最值問題，特別是恒成立問題，（2）若對滿足-1≤a≤1的一切a的值，都有g（x）＜0，變更主元，轉化為關于a的一次函數，求出實數x的取值范圍；（3）x•g^′（x）+lnx＞0對一切x≥2恒成立，采取分離參數的方法，轉化為求函數的最值問題體現了轉化的思想方法，屬難題．