Question

在邊長為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是BC的中點，F是DD₁的中點．
（1）求證：CF∥平面A₁DE；
（2）求點A到平面A₁DE的距離．

Answer 1

分析：先分別以DA，DC，DD₁為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，則A（2，0，0），A₁（2，0，2），E（1，2，0），D（0，0，0），C（0，2，0），F（0，0，1），再寫出向量

DA 1

，

DE

的坐標，求出平面A₁DE的法向量

n

．
（1）利用向量坐標之間的關系證得

CF

⊥

n

，從而得出CF∥平面A₁DE．
（2）利用向量的點到平面的距離公式即可求得點A到平面A₁DE的距離．

解答：解 分別以DA，DC，DD₁為x軸，y軸，z軸建立空間直角
坐標系，則A（2，0，0），A₁（2，0，2），E（1，2，0），
D（0，0，0），C（0，2，0），F（0，0，1），則

DA 1

=（2，0，2），

DE

=（1，2，0）
設平面A₁DE的法向量是

n

=(a，b，c)
則

n • DA 1 =2a+2c=0 n • DE =a+2b=0

，

n

=(-2，1，2)
（1）

CF

=(0，-2，1)，
∴

CF

•

n

=-2+2=0，∴

CF

⊥

n

，
所以，CF∥平面A₁DE．
（2）點A到平面A₁DE的距離是
d=

| DA • n |

| n |

=

4

3

．
點A到平面A₁DE的距離

4

3

．

點評：本小題主要考查點、線、面間的距離計算、直線與平面平行的判定等基礎知識，考查運算求解能力，考查空間想象能力．屬于基礎題．