Question

長度為a(a＞0)的線段AB的兩個端點A、B分別在x軸和y軸上滑動，點P在線段AB上，且滿足=λ（λ為常數，且λ＞0）.

（1）求點P的軌跡方程C；

（2）當a=λ+1時，過點M（1，0）作兩條互相垂直的直線l₁和l₂，l₁和l₂分別與曲線C相交于點N和Q（都異于點M），試問△MNQ能不能是等腰三角形？若能，這樣的三角形有幾個；若不能，請說明理由.

Answer 1

解：（1）依題意，設點A,B的坐標分別為（x₁,0）,(0,y₁),點P的坐標為（x,y）.

由=λ，故（x-x₁,y）=λ(-x,y₁-y)=(-λx,λ(y₁-y)).

∴即                                                                      

∵|AB|=a,∴x+y=a².∴(1+λ)²x²+()²y²= a²

∴點P的軌跡方程C是(1+λ)²x²+()²y²=a².                                                      

（2）當a=λ+1時，曲線C的方程是x²+=1,故點M(1,0)在曲線C上.

依題意，可知直線l₁和l₂都不可能與坐標軸平行，                                                

可設直線l₁方程為y=k(x-1),直線l₂方程為y=-(x-1),不妨設k＞0.

由消去y得(λ²＋k²)x²-2k²x+k²-λ²=0.

由x_m·x_n=，又x_m＝1,得x_n＝，

∴|MN|=|x_n-x_m|=|-1|=·.              

同理可得|MQ|＝·＝·.                     

假設ΔMNQ是等腰三角形，則|MN|＝|MQ|，即·＝·，

化簡得(k-1)[k²+(1-λ²)k+1]=0,

∴k=1或k²+(1-λ²)k+1=0.                                                                                 ①

①式的叛別式Δ＝(1-λ²)²－4,

在RTΔEBD′中，=，可求得FG=.                                                  

∴sin∠FAG===.

∴直線AC與平面ABD′所成的角為Arcsin.