【題目】如圖，四棱錐
中，
平面
，底面是正方形，且
,
為
中點.
（1）求證：
平面
；
（2）求二面角
的余弦值.
【答案】（1）證明見解析（2）
【解析】
（1）由
平面
，可得
，再由正方形中，得
，由線面垂直的判定定理可得
平面
，從而可得
，再由等腰三角形的性質可得
，可得證；
（2）以點
為坐標原點，分別以直線
為
軸，
軸，
軸，建立空間直角坐標系，再分別求出面
的一個法向量和平面
的一個法向量，再由向量的夾角運算可求得二面角的余弦值.
解：（1）證明：
平面，
，
又正方形中，
，
平面，
又
平面，
，
，
是
的中點，
所以
，
平面
（2）以點為坐標原點，分別以直線為軸，軸，軸，建立如下圖所示的空間直角坐標系，由題意知：
，
設平面的法向量為
，則
，
，令
，得到
，
，
平面，
，
又正方形中，
，
平面
又
，
平面的一個法向量為
，
設二面角
的平面角為
，由圖示可知二面角為銳角，
則
.二面角的余弦值為.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】若數列
、
滿足
(
N*)，則稱為數列的“偏差數列”.
（1）若為常數列，且為的“偏差數列”，試判斷是否一定為等差數列，并說明理由；
（2）若無窮數列是各項均為正整數的等比數列，且
，為數列的“偏差數列”，求
的值；
（3）設
，為數列的“偏差數列”，
，
且
，若
對任意
恒成立，求實數M的最小值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設橢圓
的左、右焦點分別為
，過
的直線交橢圓于
兩點，若橢圓C的離心率為
，
的周長為8.
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）已知直線
與橢圓C交于
兩點，是否存在實數k使得以
為直徑的圓恰好經過坐標原點？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某地因受天氣，春季禁漁等因素影響，政府規定每年的7月1日以后的100天為當年的捕魚期.某漁業捕撈隊對噸位為
的20艘捕魚船一天的捕魚量進行了統計，如下表所示：
捕魚量(單位：噸) |
|
|
|
|
|
頻數 | 2 | 7 | 7 | 3 | 1 |
根據氣象局統計近20年此地每年100天的捕魚期內的晴好天氣情況如下表（捕魚期內的每個晴好天氣漁船方可捕魚，非晴好天氣不捕魚）：
晴好天氣(單位：天) |
|
|
|
|
|
頻數 | 2 | 7 | 6 | 3 | 2 |
（同組數據以這組數據的中間值作代表）
（Ⅰ）估計漁業捕撈隊噸位為的漁船一天的捕魚量的平均數；
（Ⅱ）若以（Ⅰ）中確定的平均數作為上述噸位的捕魚船在晴好天氣捕魚時一天的捕魚量.
①估計一艘上述噸位的捕魚船一年在捕魚期內的捕魚總量；
②已知當地魚價為2萬元/噸，此種捕魚船在捕魚期內捕魚時，每天成本為10萬元/艘；若不捕魚，每天成本為2萬元/艘，請依據往年天氣統計數據，估計一艘此種捕魚船年利潤不少于1600萬元的概率.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在平行四邊形
中，點
，
，
，對角線
，
交于點P.
（1）求直線
的方程；
（2）若點E，F分別在平行四邊形的邊
和上運動，且
，求
的取值范圍；
（3）試寫出三角形
區域（包括邊界）所滿足的線性約束條件，若在該區域上任取一點M，使
，試求
的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某年數學競賽邀請了一位來自
星球的選手參加填空題比賽，共10道題目，這位選手做題有一個古怪的習慣：先從最后一題（第10題）開始往前看，凡是遇到會的題目就作答，遇到不會的題目先跳過（允許跳過所有的題目），一直看到第1題，然后從第1題開始往后看，凡是遇到先前未答的題目就隨便寫個答案，遇到先前已答得題目則跳過（例如，他可以按照9、8、7、4、3、2、1、5、6、10的次序答題），這樣所有題目均有作答，則這位選手可能的答題次序有______種.
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