Question

已知數列{a_n}中，a₁=1，且P（a_n，a_n+1）（n∈N⁺）在直線x-y+1=0上，若函數f（n）=

1

n+a1

+

1

n+a2

+

1

n+a3

+…+

1

n+an

（n∈N^*，且n≥2），函數f（n）的最小值

 

．

Answer 1

分析：由題意可得，a_n+1-a_n=1，從而可得a_n=1+（n-1）×1=n，f（n）=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

n+n

，通過判斷f（n）的 單調性確定取得最小值

解答：解：由題意可得，a_n+1-a_n=1
數列{a_n}為等差數列，公差為1
∴a_n=1+（n-1）×1=n
∴f（n）=

1

n+a1

+

1

n+a2

+

1

n+a3

+…+

1

n+an

=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

n+n

則f(n+1)-f(n)=

1

n+2

+

1

n+3

+…

1

n+n

+

1

n+n+1

+

1

2n+2

-（

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

n+n

）
=

1

2n+2

+

1

2n+1

-

1

n+1

=

1

2n+1

-

1

2n+2

＞0
∴f（n+1）＞f（n）
即f（n）為遞增的數列，則當n=2時，f（n）有最小值f（2）=

1

3

+

1

4

=

7

12

故答案為：

7

12

．

點評：本題主要考查了等差數列的通項公式的求解即根據數列的單調性求解數列的最大項的問題，解題的關鍵是判斷數列的單調性．