Question

【題目】設函數，.

（1）求函數的圖象在處的切線方程；

（2）求證：方程有兩個實數根；

（3）求證：.

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析；（3）證明見解析；

【解析】

（1）求導得到，再求得，，寫出切線方程.

（2）令，求導，設，則，結合，得到在上單調遞增，在上單調遞減，再利用零點存在定理求解.

（3）設，則，將證明，轉化為證明成立，易知恒成立，則要證，只需證為單調遞減函數，然后用導數法證明即可.

（1）因為，

所以，

所以，，

所以的圖象在處的切線方程為，即.

（2）設，定義域為，

，

設，

因為，所以，因此在上單調遞減，

又，所以時，，在上單調遞增，

時，，在上單調遞減，

因此，而，

所以在上有一個零點，

而，

所以在上有一個零點，

故方程有兩個實數根.

（3）設，則，

不等式，即為，

設

當時，，當時，，

所以

所以

所以恒成立，

所以要證，只需證為單調遞減函數.

，

設

當時，，當時，，

所以

所以恒成立，

則

即，

所以，

所以為單調遞減函數，

故.